25 (1)

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
Трехфазный генератор с несимметричной системой синусоидальных фазных напряжений питает
асинхронныйдвигатель и статическую нагрузку, соединенную в схемы "звезда" или "треугольник", с
элементами R,L,C.
Ea
Eb
Ec
j 0
120 е
j -120
j -30
120 e
100 e
j ×ψ a×°
EA = Ea × e
ψ b× °×j
EB = Eb × e
ψ c× °× j
EC = Ec × e
F
R1,Ом L1,Гн C1,мкФ R2,Ом L2,Гн
60
38,2 0,05
j ×0 ×°
= 120× e
80
115
0,352
EA = 120
- 120 ×° × j
EB = -60 - 103.923j
- 30 ×° ×j
EC = 86.603 - 50j
= 120× e
= 100× e
Циклическая частота
ω = 2× π × f = 2× π × 60 = 377.0
Емкостные сопротивления
XC1 =
XC2 =
1
ω × C1
1
=
377.0× 80× 10
6
= 33.2
1
1
=
= 13.3
6
ω × C2
377.0× 200× 10
Индуктивные сопротивления
XL1 = ω ×L1 = 377.0× 0.05 = 18.8
XL2 = ω ×L2 = 377.0× 0.352 = 133.0
сопротивления двигателя
Z 1 = 13 + 40j
- в алгебраической форме
Z 2 = 5 + 15j
72.0 ×° ×j
Z1 = 42.1× e
71.6 ×° ×j
- в комплексно - показательной форме
Z2 = 15.8× e
1. Сопротивления у статической нагрузки
C2,мкФ
200
Z1,Ом
Z2,Ом
13 +j 40
5 +j 15
фазы А
ZΔAB =
(-j ) × XC × j × XL
(-j )× 13.3× j × 133
=
( -j )× 13.3 + j × 133
( -j ) × X C + j × X L
- 90 ×° ×j
90 ×° × j
13.3× e
× 133× e
=
(-j )× 13.3 + j × 133
ZΔAB = -14.8j
фазы В
ZΔBC = R - j × XC
= 115 - j × 13.3
j ×- 6.6 ×°
= 116 × e
= ( 115.231 - 13.333j)× Ом
фазы С
ZΔCA = R - j × XC
j ×- 6.6 × °
= 116 × e
= 115 - j × 13.3
= (115.231 - 13.333j) × Ом
Преобразовываем треугольник нагрузки в эквивалентную звезду
j × - 90.0 ×°
ZΔAB.× ZΔCA.
j ×- 6.6 ×°
14.8× e
× 116 × e
ZA =
=
ZΔAB + ZΔBC + ZΔCA
- 14.8j + 115 - 13.3j + 115 - 13.3j
j ×- 96.6 ×°
=
1716 × e
j ×- 10.2 ×°
j ×- 86.4 × °
= 7.35× e
= 0.462 - 7.335j
234× e
j ×- 6.6 ×°
ZΔBC.×ZΔAB.
j ×- 90.0 ×°
116 × e
× 14.8 × e
ZB =
=
ZΔAB + ZΔBC + ZΔCA
- 14.8j + 115 - 13.3j + 115 - 13.3j
j ×- 96.6 ×°
=
1716 × e
j ×- 10.2 ×°
j ×- 86.4 × °
= 7.35× e
= 0.462 - 7.335j
234× e
j ×- 6.6 × °
ZΔCA.× ZΔBC.
j ×- 6.6 ×°
116 × e
× 116 × e
ZC =
=
ZΔAB + Z ΔBC + ZΔCA
-14.8j + 115 - 13.3j + 115 - 13.3j
j ×- 13.2 ×°
=
13455 × e
j ×- 10.2 ×°
j × - 3.0 × °
= 57.6 × e
234× e
1.2 Расчитываем сопротивления в линейных проводах
= 57.521 - 3.015j
j × 0.0
=
1768× e
j ×90.0 ×°
120× e
ZлA = R
= 38.2
j × 0.0
= 38.2× e
= 38.2× Ом
ZлB = R + j × XL
= 38.2 + j × 18.8
j × 26.2 × °
= 42.6 × e
ZлC = j ×XL
= (38.223 + 18.808j)× Ом
= j × 18.8
j ×90.0 ×°
= 18.8 × e
1.3 Полные сопротивления
фазы А
Z фA = ZA. + ZлA = 0.462 + -7.34× j + 38.2 = 38.7 - 7.34j
j ×- 10.7 ×°
= 39.4× e
= (38.715 - 7.315j )× Ом
фазы В
Z фB = ZB. + ZлB = 0.462 + -7.34× j + 38.2 + 18.8j = 38.7 + 11.5j
j ×16.6 ×°
= 40.4× e
= ( 38.716 + 11.542j) × Ом
фазы С
Z фC = ZC. + ZлC = 57.5 + -3.01× j + 18.8j = 57.5 + 15.8j
j ×15.4 ×°
= 59.6 ×e
= ( 57.46 + 15.827j )× Ом
1.4 Проводимости ветвей
YA =
Z
1
1
=
j ×- 10.7 ×°
39.4× e
фA.
(
j ×10.7 ×°
YA. = 0.0254×e
YB =
Z
1
=
= 0.025 + 4.716j ´ 10
-3
) × Сим
1
j ×16.6 ×°
40.4× e
фB.
j ×- 16.6 ×°
YB. = 0.0248×e
(
= 0.024 - 7.085j ´ 10
) × Сим
-3
YC =
Z
1
1
=
j ×15.4 ×°
59.6 ×e
фC.
j ×- 15.4 ×°
YC. = 0.0168× e
(
= 0.016 - 4.461j ´ 10
) ×Сим
-3
1.5 Напряжение смещения нейтрали
U nn1 =
EA × YA. + EB × YB. + EC × YC.
j ×0 × °
U nn1 =
=
YA + YB + YC
120× e
j × 10.7 × °
- 120 ×° ×j
j ×- 16.6 ×°
j ×10.7 ×°
j ×- 137.0 ×°
- 30 × ° ×j
3.05× e
=
j ×- 45.4 ×°
+ 2.98 × e
+ 1.68× e
0.0648 - 0.00682j
=
j ×- 6.01 ×°
0.0652× e
j ×- 53.1 ×°
=
3.33× e
j ×- 47.1 ×°
= 51.4 × e
j ×- 6.01 ×°
0.0652× e
2. Определяем фазные токи
EA. - UN1N
=
ZфA.
120.0 - (35.0 + -37.7 × j )
=
j ×- 10.7 ×°
39.4× e
j ×23.9 ×°
93 × e
=
j ×34.6 ×°
= 2.36 × e
j ×- 10.7 ×°
= (1.943 + 1.34j) × А
39.4× e
IB =
EB. - UN1N
=
ZфB.
-60.0 + -104.0× j - (35.0 + -37.7× j )
j ×16.6 ×°
=
40.4 × e
j ×23.9 ×°
=
93 × e
j ×16.6 × °
40.4× e
=
3 + 0.566j + -2.18 - 2.03j + 1.18 - 1.2j
=
IA =
j ×- 15.4 ×°
× 0.0254× e
+ 120×e
× 0.0248× e
+ 100× e
× 0.0168× e
0.0249 + 0.00471 × j + 0.0237 + -0.00707× j + 0.0162 + - 0.00446 × j
j ×- 162.0 ×°
= 2.87× e
= (-2.73 - 0.887j )× А
= ( 34.989 - 37.653j)× В
IC =
EC. - U N1N
=
ZфC.
86.6 + -50.0× j - ( 35.0 + -37.7× j )
=
j ×15.4 × °
59.6 × e
j × - 13.4 ×°
=
53× e
j ×- 28.8 ×°
= 0.89 × e
j ×15.4 ×°
= ( 0.78 - 0.429j) × А
59.6 × e
3. Проверка правильности расчета
Сумма токов должна быть равна 0
IA + IB + IC = 1.94 + 1.34× j + -2.72 + -0.901× j + 0.78 + -0.429× j = 0.01j× А
что можно принять равным 0. Небольшая погрешность допустима
Опредляем комплексные потенциалы точек a,b,c к которым присоединен треугольник сопротивлений
j ×0 ×°
φ a = EA - IA.× ZлA. = 120× e
j × 34.6 × °
= 120.0 - 90.2× e
j ×- 48.2 ×°
= 68.7 ×e
j × 34.6 ×°
- 2.36 × e
=
B
- 120 × ° × j
j ×- 162.0 ×°
- 2.87 × e
j × - 136.0 × °
= -60.0 + -104.0× j - 122× e
j ×- 34.1 ×°
= 33.4 ×e
j × 26.2 ×°
× 42.6 × e
=
= -60.0 + -104.0× j - ( -87.7 + -85.2× j ) = 27.7 - 18.8j
B
- 30 ×° × j
φ c = EC - IC.× ZлC. = 100× e
j ×61.2 × °
= 86.6 + -50.0 × j - 16.7× e
j × - 39.5 ×°
=
= 120.0 - (74.2 + 51.2× j ) = 45.8 - 51.2j
φ b = EB - IB.× ZлB. = 120× e
= 102× e
j ×0.0
× 38.2× e
j ×- 28.8 ×°
- 0.89× e
j ×90.0 ×°
× 18.8× e
=
= 86.6 + -50.0× j - ( 8.06 + 14.7× j ) = 78.54 - 64.7j
B
Линейные напряжения на нагрузке
U ab = φ a. - φ b. = 45.8 + -51.2 × j - (27.7 + -18.7× j ) = 18.1 - 32.5j
j ×- 60.9 ×°
U ab = 37.2 ×e
U bc = φb. - φc. = 27.7 + -18.7× j - (78.7 + -64.9× j ) = -51.0 + 46.2j
j ×138.0 ×°
U bc = 68.8× e
U ca = φc. - φ a. = 78.7 + -64.9× j - (45.8 + -51.2× j ) = 32.9 - 13.7j
j ×- 22.6 ×°
U ca = 35.6 ×e
Определим фазные токи
IAB =
U ab
ZΔAB.
j × - 60.9 × °
=
37.2× e
=
j × - 90.0 × °
14.8× e
j ×29.1 ×°
= 2.51× e
IBC =
U bc
ZΔBC.
= 2.193 + 1.221j
j × 138.0 ×°
=
68.8× e
j × - 6.6 ×°
=
116 × e
j ×145.0 × °
= -0.486 + 0.34j
j ×- 16.0 ×°
= 0.295 - 0.085j
= 0.593× e
ICA =
U ca
ZΔCA.
j ×- 22.6 ×°
=
35.6 × e
j ×- 6.6 ×°
=
116 × e
= 0.307× e
проверка
должно выполняться равенство
IA = IAB - I CA
IB = IBC - IAB
IC = I CA - IBC
IAB. - ICA. = 2.19 + 1.22× j - (0.295 + - 0.0846× j ) = 1.895 + 1.305j
IA = 1.94 + 1.34j
равенство выполняется
IBC. - I AB. = -0.486 + 0.34 × j - (2.19 + 1.22× j ) = -2.676 - 0.88j
IB = -2.72 - 0.901j
равенство выполняется
I CA. - IBC. = 0.295 + -0.0846 × j - (-0.486 + 0.34 × j ) = 0.781 - 0.425j
I C = 0.78 - 0.429j
равенство выполняется
токи расчитаны правильно
4. Метод симметричных составляющих
4.1 Прямая последовательность
- 120° ×j
120° ×j
a² = e
U A1 =
=
1
a = e
) = 3 ×( 120× ej ×0× ° + e120×° ×j × 120× e- 120× ° ×j + e- 120×° ×j × 100× e- 30 ×° ×j )
1
(
3
× EA + a× EB + a²× EC
(
1
j ×0 ×°
j × 0.0
- 150.0 ×° ×j
× 120× e
+ 120× e
+ 100× e
3
= ( 153 - 50j)×
1
3
)
=
1
× (120.0 + 120 + -86.6 - 50j)
3
=
- 18.1 ×° ×j
= 53.7× e
- 18.1 ×° ×j
U B1 = U A1× a² = 53.8× e
- 120 × ° ×j
×e
- 138.0 ×° × j
U B1 = 53.8 ×e
- 18.1 × ° ×j
U C1 = U A1× a = 53.8× e
120 ×° ×j
×e
102.0 ×° ×j
U C1 = 53.8× e
Обратная последовательность
U A2 =
=
1
) = 3 ×( 120× ej ×0× ° + e- 120×° × j × 120× e- 120 ×° ×j + e120×° ×j × 100× e- 30 ×° ×j )
1
× EA + a²×EB + a× EC
3
(
(
1
j ×0 ×°
120.0 × ° ×j
j ×0.0
× 120× e
+ 120× e
+ 120× e
3
= ( 180 + 104j)×
1
3
)
30.0 ×° ×j
= 69.3× e
73.6 ×° ×j
U B2 = U A2× a = 70.9× e
120 ×° × j
×e
- 166.0 ×° × j
U B2 = 70.9 ×e
73.6 ×° × j
U C2 = U A2× a² = 70.9 × e
- 120 ×° ×j
×e
=
1
× (120.0 + -60 + 104j + 120)
3
=
- 46.4 ×° ×j
U C2 = 70.9× e
Нулевая последовательность
U A0 =
1
1
× EA. + EB. + EC. = × (120.0 + -60.0 + -104.0× j + 86.6 + -50.0× j ) =
3
3
(
)
= (147 - 154j)×
1
=
3
1
3
- 46.4 ×° ×j
×213× e
- 46.4 ×° ×j
= 70.9× e
4.4 Строим вектора исходных ЭДС по уравнениям
E'A = U'A1 + U'A2 + U'A0 = 51.1 + -16.7 × j + 20.0 + 68.0× j + 48.9 + -51.3 × j = 120.0
E'B = U'B1 + U'B2 + U'B0 = -40.0 + -36.0 × j + -68.8 + -17.2× j + 48.9 + -51.3 × j = -59.9 - 104.0j =
- 120 ×° × j
= 120× e
E'C = U'C1 + U'C2 + U'C0 = -11.2 + 52.6 × j + 48.9 + -51.3× j + 48.9 + -51.3× j = 86.6 - 50.0j
- 30 × ° × j
= 100× e
5. Расчет токов в двигателе
5.1 Токи прямой последовательности
IA1 =
- 18.1 ×° ×j
U A1
=
Z1
53.8× e
72.0 ×° × j
42.1× e
- 90.1 × ° ×j
I A1 = 1.28 × e
IB1 =
-3
=
Z1
53.8× e
72.0 × ° ×j
42.1× e
150.0 ×° × j
= ( -1.109 + 0.64j)× А
102.0 × ° ×j
UC1
53.8× e
=
72.0 ×° × j
Z1
42.1× e
30.0 ×° ×j
I C1 = 1.28× e
= (1.109 + 0.64j) × А
5.2 Токи обратной последовательности
)
- 1.28j × А
- 138.0 ×° ×j
U B1
I B1 = 1.28 × e
IC1 =
(
= - 2.234 ´ 10
=
IA2 =
U A2
Z2
73.6 × ° ×j
=
70.9× e
71.6 × ° ×j
15.8× e
2.0 ×° × j
I A2 = 4.49 × e
IB2 =
= ( 4.487 + 0.157j )× А
- 166.0 ×° ×j
U B2
=
Z2
70.9× e
71.6 × ° ×j
15.8× e
122.0 ×° × j
I B2 = 4.49 × e
= ( -2.379 + 3.808j )× А
- 46.4 ×° ×j
UC2
70.9× e
IC2 =
=
71.6 × ° ×j
Z2
15.8× e
- 118.0 ×° ×j
I C2 = 4.49× e
= (-2.108 - 3.964j) × А
5.3 Токи нулевой последовательности
Z0 = ∞
I A0 = 0
IB0 = 0
I C0 = 0
5.4 Ток в электродвигателе
I Aдв = I'A1 + I'A2 + I'A0 = -0.00223 + -1.28 × j + 4.49 + 0.157× j + 0.0 = 4.49 - 1.12j
- 14.0 ×° ×j
IAдв = 4.63× e
= (4.492 - 1.12j) ×А
I Bдв = I'B1 + I'B2 + I'B0 = -1.11 + 0.64 × j + -2.38 + 3.81× j + 0.0 = -3.49 + 4.45j
128.0 ×° × j
IBдв = 5.66 × e
= ( -3.485 + 4.46j)× А
I Cдв = I'C1 + I'C2 + I'C0 = 1.11 + 0.64 × j + -2.11 + -3.96 × j + 0.0 = -1.0 - 3.32j
- 107.0 × ° × j
ICдв = 3.47 × e
= ( -1.015 - 3.318j )× А
5.5 Проверка правильности расчета
I'Aдв + I'Bдв + I'Cдв = 4.49 + -1.12× j + -3.48 + 4.46 × j + -1.01 + -3.32× j = 0.02j
что можно принять равным 0
Расчет произведен верно.
6. Определяем токи генератора
I AГ = I'Aдв + IA = 4.49 + -1.12 × j + 1.94 + 1.34× j = 6.43 + 0.22j
А
1.96 ×° ×j
I'AГ = 6.43 ×e
I BГ = I'Bдв + IB = -3.48 + 4.46 × j + - 2.72 + -0.901× j = -6.2 + 3.56j
А
150.0 ×° ×j
I'BГ = 7.15 ×e
I CГ = I'Cдв + IC = -1.01 + -3.32× j + 0.78 + -0.429× j = -0.23 - 3.75j
- 93.6 × ° ×j
I'CГ = 3.76 × e
Сумма токов должна быть равна 0
IAГ + I BГ + I CГ = 6.43 + 0.22× j + -6.2 + 3.56 × j + -0.23 + -3.75× j = 0.03j
Расчет произведен верно
7. Определяем мощности генератора
*
*
*
SГ = EA × I'AГ + EB × I'BГ + EC × I'CГ
А
строим векторные диаграммы. Выпишем для удобства вычисленные значения токов, ЭДС и напряжений
j ×0 × °
EA = 120× e
j ×34.6 ×°
= 120× В
EC = 100× e
= (-2.73 - 0.887j )× А
j × - 28.8 × °
= (0.78 - 0.429j )× А
I B. = 2.87× e
= ( 86.603 - 50j)× В
I C. = 0.89× e
j ×29.1 × °
= 45.791 - 51.214j
I AB = 2.51× e
j × - 34.1 × °
= 27.657 - 18.725j
I BC = 0.593× e
j × - 39.5 ×°
= 78.706 - 64.88j
I CA = 0.307× e
j × - 48.2 × °
φ a = 68.7× e
φ b = 33.4× e
φ c = 102× e
= (1.943 + 1.34j) × А
j ×- 162.0 ×°
= (-60 - 103.923j)× В
- 120 ×° ×j
EB = 120× e
- 30 × ° × j
I A. = 2.36 × e
= 2.193 + 1.221j
j ×145.0 × °
= -0.486 + 0.34j
j ×- 16.0 ×°
= 0.295 - 0.085j
Падение напряжений в линейных проводах
j ×34.6 ×°
U лA = IA.× ZлA. = 2.36 × e
j ×0.0
× 38.2× e
j ×- 162.0 ×°
U лB = IB.× ZлB. = 2.87× e
j × - 28.8 ×°
U лC = I C.× ZлC. = 0.89× e
( 34.6j) ×°
= 90.1× e
j ×26.2 ×°
= 122.0× e
j ×90.0 × °
= 16.7× e
× 42.6 × e
= 74.165 + 51.163j
- ( 136.0j) × °
(61.2j ) ×°
× 18.8× e
= -87.759 - 84.748j
= 8.045 + 14.634j
Для второй диаграммы
(
= - 2.234 ´ 10
150.0 ×° × j
= ( -1.109 + 0.64j)× А
I Bдв = 5.66 × e
30.0 ×° ×j
= (1.109 + 0.64j) × А
I Cдв = 3.47× e
2.0 ×° × j
= ( 4.487 + 0.157j )× А
I B1 = 1.28 × e
I C1 = 1.28× e
I A2 = 4.49 × e
122.0 ×° × j
I B2 = 4.49 × e
- 1.28j × А
= ( -2.379 + 3.808j )× А
- 118.0 ×° ×j
I C2 = 4.49× e
-3
)
- 90.1 × ° ×j
I A1 = 1.28 × e
= (-2.108 - 3.964j) × А
- 14.0 × ° × j
= ( 4.492 - 1.12j)× А
128.0 ×° ×j
= (-3.485 + 4.46j) × А
I Aдв = 4.63 × e
- 107.0 ×° ×j
= (-1.015 - 3.318j) × А
Масштаб токов
μ i = 0.5
А
cм
Масштаб напряжений: μ u = 10
В
см
векторная диаграмма токов и напряжений
14
13
12
11
10
+j
9
8
7
6
5
4
3
2
1
EA
-6 -5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
-IAB
-2
-3
IB
2
3
4
5
6
+1
7
8
10
IBC
-UлA
B
EC
-ICA
IA
IAB
-4
EB
9
-5
-6
-UлB
-7
-8
-9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
A
C
-UлC
-IBC
ICA
IC
11
12
13
14
Масштаб токов
μ i = 0.5
А
cм
векторная диаграмма токов
14
13
+j
12
11
10
9
8
7
IBдв
6
5
IB2
4
IB2
3
2
IB1
- 10 - 9
-8 -7 -6 -5 -4 -3
-2
IC1
1
-1
0
-1
1
2
3
4
IA1
- 3 IC2
IC2
-4
-5
-6
-7
-8
-9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
5
6
7
IAдв
-2
ICдв
+1
IA2
IA2
8
9
10